第7章 数学课堂教学评价

有效的数学课堂教学是促进学生有效学习，最终帮助学生获得理想学习目标的必要前提。虽然对什么是有效的数学课堂教学没有统一的认识，但是大量的研究不断深化了对这一问题的理解（见第二章）。课堂教学评价，既是改进教学效果所需要，也是促进教师专业发展的重要组成部分（Bright & Joyner, 1998）。它是数学课堂教学研究的重要组成部分。由于数学课堂本身的复杂性（Lampert，2001），以及数学教学有效性标准的多样性，课堂教学评价的内涵非常丰富。从评价的主体上来看，可以是授课的教师为了理解学生的学习特点及进展、做出正确的教学决策而收集、整理和解释课堂信息的过程（Airasian &  Russell, 2008）；也可以是课堂的局外人观察和评价教师的课堂教学水平的一种方式。我国常见的“专家评课”就属于后者。“专家”凭借自身丰厚的知识和经验点评课堂教学的成功和不足。从评价的客体上来看，可以是学生的课堂表现，如对话交流、概念理解等诸多方面，通过可观察的行为或作业，分析学生的课堂学习状况（中华人民共和国教育部， 2001）；也可以是教师的教学活动，通过观察教师的课堂教学行为，研究对学生产生的不同作用（Henningsen & Stein, 1997）。

本章我们仅从研究教师教学的视角（评价的主体可能主要是课堂的局外人），介绍若干数学课堂教学的评价方案，然后辅之以一些研究的案例，帮助读者理解所介绍的方案。

§1数学课堂评价方案

  基于对课堂教学的亲身经验，Lampert（2001）提出了一个课堂教学的模型——以“教师、内容、学生”为顶点的教学三角形，刻画了课堂教学活动的复杂性。她认为，在课堂教学中，教师的教学就是在学生、教学内容之间产生作用，学生则在教师的课堂教学情境中学习。Lampert在研究的基础上强调了教学实践的复杂性，如确定教学的内容，如何帮助学生学习等等。这些问题都会出现在教学三角形中，教师需要及时有效地处理这些问题。不仅如此，Lampert还认识到了未能反映在教学三角形中的教学问题：

（1）教学环境的复杂性。

在教学中，课堂往往有许多学生，教师不可能在课堂上和每个学生一对一得展开教学，这就要求教师利用数学内容，组织全班的学生参与到教学过程中来。在社会化的环境中，学生相互影响，相互学习，

（2）教学内容的复杂性。

课堂上教学的数学知识，必然和以前的知识产生联系，或者是在学生的经验基础上发展的。因此在教某个数学内容时，必然会联系到一个复杂的内容结构。

（3）教师和学生的复杂性

在教学中，教师的教学和学生的学习都和他们自身的特点密切相关，如：社会关系，信念价值观等等。

因此，对课堂教学的评价，不仅要关注课堂的活动形式，而且更为本质的是要关注课堂上教学内容在课堂中的实施——教师如何教数学？学生如何学习数学？教师如何帮助学生学习数学？于是，我们可以把教学评价的方案分成不同的两类：

第一种教学评价方式，主要关注的是课堂教学的一个方面，以此为切入点，评价课堂教学的实施。例如，有的评价方案主要关注教师如何教数学，像 “数学教学任务的评价方案”就是其中的代表。也有一些评价方案关注的是学生如何学习数学，如“数学课堂认知水平的评价方案”。还有的评价方案则是关注教师和学生之间的互动，也就是教师如何帮助学生学习数学，如“数学探究的课堂教学评价方案”，以及“课堂数学交流水平的评价方案”就是典型的范例。

第二种教学评价方式，事实上可以称为是多维度的评价方案，即从多个视角和维度来综合评价课堂的实施，提供课堂教学的整体面貌。

接下来，我们选择国内外比较典型的课堂教学评价方案，并作较为详细地介绍。

1.1从特定视角研究教学的评价方式

1.1.1关注教师如何教数学——数学教学任务的评价方案

QUASAR（Quantitative Understanding: Amplifying Student Achievement and Reasoning）项目是美国国家教育改革项目之一，旨在促进和发展经济欠发达地区的初中数学教学（Silver & Stein, 1996）。QUASAR项目的研究框架是在数学教学任务这一概念的基础上形成的，其焦点是引导学生关注具体的数学概念、方法和技能（Henningsen & Stein, 1997）。

课程中的数学任务

教师在课堂上建立的数学任务

学生执行的数学任务

学生的学习结果

影响教师建立的因素

影响学生执行的因素

图1.1 QUASAR项目的研究框架

在这个框架中，数学任务的形成历经三个阶段：首先是课程中的数学任务，然后是教师在课堂上建立的数学任务，最后是学生执行的数学任务（图1.1）。

QUASAR研究框架同时定义了数学任务的两个指标：任务特征和认知要求。任务特征包括了多种解题策略、多元表征和数学交流，数学任务的这些特征被普遍认为能促进学生的数学理解和数学推理。教师在课堂上建立数学任务的阶段，这些特征是指教师鼓励学生使用多种方法，多元表征，提供解释推理的程度；在学生执行的阶段，则是指学生实践的程度。数学任务的认知要求是指学生完成任务所必需的思维过程，可以在两个阶段表现出来，一是教师在课堂上建立数学任务的时候，另一个是在学生执行任务的阶段。按照认知水平，数学任务可以分成从低到高的四个水平：记忆性的任务、无联系的程序性任务、联系的程序性任务、做数学的任务（表1.1）。

值得注意的是，根据QUASAR研究框架的设想，数学任务的特征和认知要求在不同的阶段会发生改变。例如，教师在建立任务的初衷是要求学生以高水平的认知活动参与，然而到了学生执行的阶段可能降低到无联系的程序性水平。导致这些现象产生的原因很复杂，可能是课堂的气氛，可能是教师的教法，也可能是学生的态度等等。历经五载的QUASAR研究发现保持和降低学生执行数学任务的课堂因素来自于诸多方面 （Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 1999）。这些被确认的影响认知要求的课堂因素（表1.2）可以作为评价和改进教师课堂教学的重要依据，促进教师的专业发展（Stein & Smith, 1998）。在第二节将给出一个以此框架作为分析工具的课堂教学研究案例。

表1.1：4水平认知要求的数学任务特征

4水平认知要求的数学任务特征
低水平要求	高水平要求
记忆性的任务 l         再现和记忆以前学过的事实、法则、公式、定义。 l         不能使用程序解决的。因为程序不存在，或者是要求完成任务的时间太短而无法使用程序。 l         明确的——这种任务包括准确地再现以前见过的对象，并且把它们清楚而直接地说出来。 l         与概念和意义没有联系的。这些概念和意义潜在于学过的或再现的事实、法则、公式、定义之中。	联系的程序性任务 l         要求学生为深入理解数学概念和思想而使用程序。 l         提示有一条路径可以遵循（明确的、或含蓄的）。这条路径是与隐含的概念有密切联系的一般性的程序。 l         常常使用多种方法表示（如直观图表、学具、符号、问题情景）。多种表示方法之间的联系有助于促进理解。 l         需要某种程度的认知努力，尽管有可以遵循一般性的方法，但却不能不予思考地使用。为了完成任务和发展理解，学生需要弄清程序背后的概念。
无联系的程序性任务 l         算法化的。使用的程序是被明确要求的，或者是在以前的教学、经验、任务的基础上使用程序。 l         对于要做什么和怎么做几乎是很明确的。 l         着眼于获得正确的答案，而不是发展数学的理解。 l         不要求解释，或者只是要求描述使用的程序。	做数学的任务 l         需要复杂的、非算法化的思维（不是预先知道的方法）。 l         要求学生探索和理解数学概念、过程、关系的本质。 l         需要自我监控和调节自己认知过程。 l         要求学生在执行任务时，提取和适当地使用相关的知识和经验。 l         要求学生分析任务，考虑各种可能约束解法和策略的因素。 l         需要相当大的认知努力，由于解法过程的不可预测性，可能含有学生某种程度的焦虑。

表1.2：保持、降低高水平认知要求的相关因素

保持高水平认知要求的相关因素	降低高水平认知要求的相关因素
l       给学生的思维和推理搭脚手架。 l       教师提供学生监控自己思维发展的方法。 l       教师或有能力的学生作高水平的示范。 l       教师运用提问、评价和反馈等方式，迫使学生解释推理。 l       任务建立在学生以前的知识基础之上。 l       教师经常联结多种概念。 l       为学生探究提供充分的时间——不是太短，也不是太长）。	l       教师把任务的难点简单化（如，教师提供明确的解题程序、步骤等，或者教师代替学生的思考和推理，直接告诉学生怎么做）。 l       教师从强调意义、概念、理解转向关注答案的正确和完整。 l       教师没有提供足够的时间让学生攻克任务难关，或者给与了太多的时间，学生开始做其它事。 l       教师课堂管理不善，阻碍了学生维持高水平认知的活动。 l       教师给与某个小组的任务是不合适的（如，学生缺乏兴趣、动机、知识等，或任务要求不明确）。 l       教师没有使学生为自己的解答负责（如，尽管教师要求学生解释他们的思考过程，但是还是接受了学生含糊不正确的解释；学生对此留下的印象是他们所做的不会影响自己的成绩）。

1.1.2 关注学生学数学——数学课堂认知水平的评价方案

Hershkowitz, Schwarz, and Dreyfus（2001）把数学抽象的过程，化分成了三层嵌套的认识活动（图1.2 ）：识别（recognizing）、发展（building-with）、建构(constructing)。其中，建构是抽象过程的核心，是联合多种结构产生新结构的过程。识别是经常发生的。当学生认识到已有的知识结构，能使用以前的活动和类似的方法时，识别水平的抽象活动就开始发生了。发展水平的抽象过程包含很多对原有知识的组合过程，常常是为了达到某一目标，如解决问题，证明结论。发展水平和建构水平之间的一个重要区别是：发展水平是指使用、组合已经有的知识去处理亟待解决的问题；建构水平，则是在发展水平的基础上，反省经历的认知过程，形成新的概念或知识。

同时，这三个活动不是线性的，而是嵌套的，建构活动不是仅仅发生在识别、发展活动之后，又可以作为认识的起点，是一个动态开放的认识过程。

构造

发展

识别

识别

发展

构造

图1.2数学抽象的嵌套过程

Williams（2000，2002）把克鲁捷茨基（1984）对学生心理活动的描述，布卢姆（1986）的学习目标分类法，以及数学抽象认识活动进行了比较（表1.3）。

表1.3：Williams对三种理论的比较

这样的比较和联系，可以通过观察学生的活动，了解学生学习的认知活动。已经有研究把此运用到了课堂，研究学生数学抽象的认知活动（Williams, 2002；Wood , Williams,  & McNeal，2006），但是她们完全忽视了回忆的作用。许多数学教师认为记忆是理解的基础，通过记忆可以促进理解，同时又可以记忆已经理解的知识，为理解新的知识作好准备（Marton, Runesson, & Tsui, 1996；Wang & Cai, 2007）。回忆——从认知心理的角度来说，就是从人的长时记忆中提取相关的信息。回忆和记忆有联系又有区别的。记忆包含了两个过程——记和忆。“记”就是存储信息，“忆”就是提取信息。因此，回忆就是“忆”的过程，反复回忆某个信息，有助于长时间“牢记”回忆的内容，如果长期不回忆，很容易产生遗忘（王甦，汪安圣，1992）。于是在综合了上述研究的基础上，形成关于学生在课堂上认知活动的分类，详见表1.4（黄兴丰， 2008）。

表1.4 课堂认知活动

认知水平	可观察的活动
回忆（Recall）	l         重复学过的知识，或者描述事实性的信息（RL1）。
识别 （Recognizing）	l         在已经学过的概念，或掌握的基础上理解概念（RG1）。 l         知道何时用学到的概念（RG2）。
发展 （Building-with）	l         在新的情境中应用掌握的程序（BW1）。 l         解决一个略微变化的问题（BW2）。 l         使用特例，熟悉问题（BW3）。 l         系统地研究特例，寻找模式（BW4）。 l         比较两种方法的差异（BW5）。 l         联系不同的表示、运算和条件（BW6）。 l         使用多种方法解决问题（BW7）。 l         概括——“小发现”（BW8）。 l         分析个案，或形成发现新法则的指南（BW9）。 l         联系不同方法，目的是为了指出错误或是为了加强推断（BW10）。 l         整合多种观念做出判断（BW11）。 l         评价方法或结果的合理性（BW12）。
建构 （Constructing）	l         以数学推理的方式解释发现的模式（CO1）。 l         从多个角度探索问题，不只局限在解法上（CO2）。 l         整合各种概念，形成新的思想或概念（CO3）。 l         不断探索问题，产生新的概念（CO4）。 l         在情境中不断反思，目的是辨别不一致的信息或发现更好的方法（CO5）。 l         反思解决问题的过程，目的是认识到不足，应用到新的情境（CO6）。 l         反思解题方法，发展、推广，以便今后使用（CO7）。

1.1.3 关注教学中的师生互动

（1）数学探究的课堂教学评价方案

近来数学教学的改革强调了要改进数学教学方式。比如，美国NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）公布的数学课程标准强调了问题解决的过程，数学推理，以及数学交流（NCTM, 1989, 2000）。我国数学课程标准同样强调了教师应当给学生提供动手实践的机会，鼓励学生积极主动参与，提倡学生自主探索、合作交流（中华人民教育部, 2001）。Forman (2003)认为社会文化（sociocultural）的学习观为当前的数学教学改革提供了理论依据。按照Forman的观点，社会文化的学习观为我们理解教学实践和学习结果之间关系提供了一条有效的途径，同时表明数学学习应当是一种社会环境下的交流活动。因此在社会文化学习观的视角下，数学课堂实践应当是学生提出问题，形成猜想，证明或反驳猜想，从事数学探究的社会化活动。

表1.5：数学探究的课堂教学

假定	教师的活动	学生的活动
1．数学思维是一种生成意义的活动，依赖于特殊和一般，猜想和验证的过程。	l         教师通过对话的形式，鼓励学生参与，为学生提供新的思路。 l         在教师引入的解题和论证中，要求学生提供中间或最后的步骤，促使学生主动掌握教学内容。 l         教师对学生的解答暂不做评论，而是鼓励其他学生来参与评价。	l         在没有教师帮助的情况下，学生开始进行猜想和辩护。 l         在没有教师协调的全班讨论中，学生彼此之间引起争论。
2．数学探究是一种由个人反思和自我管理伴随的过程。	l         教师通过提问鼓励学生质疑他们的假设，发现存在的错误。 l         教师给学生留下时间阅读教材，审思例题。	l         学生开始指出和纠正自己或他人的错误，也包括教师的错误。 l         学生自发利用教材以及例题，消除误解。
3．数学思维是在教师提供“脚手架”的探究过程中发展起来的。	l         教师要求学生阐明、精细、评价和检验他们的结论。 l         教师通过方法步骤，或联系以前或当前的知识引领学生，促使他们建构数学知识。	l         学生自觉阐明、精细、评价和辩护他们的结论。 l         在教师的建议和引领下，学生提高了责任感。
4．数学思维能在同伴的互助下被概括和检验。	l         教师通过要求学生彼此解释和阐明思想和策略，组织学生的互动。	l         学生在小组中调控自身的发展，伺机向他人反馈和解释自己的思想。
5．数学思维是形式化和非形式化知识之间的交互。	l         教师借助数学的语言、传统和符号体系，清楚地表达自己的观点。 l         教师把专业术语和普通的意义联系起来，采用多种方法表示新的术语和概念。	l         学生争论不同符号传统的恰当性和相对的优点。

社会文化的学习理论是由Vygotsky心理学派形成和发展起来的（Sfard, Forman, & Kieran, 2001）。他们认为人的思维来源于社会实践，为了理解人的心理活动，必须关注心理发展的过程而不是结果。同时指出，人的高级心理活动（如记忆、推理等）需要工具和符号作为中介（语言、符号），首先发生在社会的层面，然后才内化（internalization）到人的心理层面（Wertsch, 1985）。因此，Vygotsky认为在学生的最近发展区（指学生在有指导的情况下，借助他人帮助所达到的解决问题的水平与在独立活动中所达到的解决问题水平之间的差距），在教师和学生的帮助下，这种智力活动的内化过程是可以发生的。Goos（2004）利用最近发展区作为理论框架观察和评价数学探究的课堂教学（表1.5）。她认为学生与学生的互动，学生与教师的互动，日常和科学概念的交互均可以作为学生学习的最近发展区，促进学生心理活动的内化。为了具体说明她的观点，Goos（2004）提供了一个具体的课堂记录加以说明。

（2）课堂数学交流（Math-talk）的评价方案

著名的Cockcroft（1982）报告最早提出了要教数学的原因之一就是要让学生“学会使用数学作为一种交流信息的手段”。从1989年开始，美国NCTM就把“交流”列为K-12年级的数学教学标准之一（NCTM, 1989）。我国2001年颁布的义务教育数学课程标准，以及2003年的普通高中数学课程标准都关注了数学的交流，数学师生对话则是数学交流的一种重要方式（中华人民共和国教育部，2001, 2003）。

为了研究课程改革对教师课堂教学实践的影响，Hufferd-Ackles, Fuson and Sherin （2004）对美国一所小学的1-4年级的四个教师进行了为期两年的课堂研究。通过课堂录像、实地笔记、课后访谈等方法对教师的课堂教学进行了较为仔细的研究。在第二个阶段，研究者对其中的三年级教师进行了两个月的个案研究，所有观察记录的焦点集中在数学交流这一视角。研究者把数学交流分成四个维度，并把数学交流分成四个不同的水平，建立了一个研究课堂数学交流发展的评价框架（表1.6）。

表1.6 课堂交流的水平

续表1.6 课堂交流的水平

1.2 综合评价课堂教学的维度及其指标

     前面介绍的课堂教学评价方案，它们具有一个共同特征，即关注数学课堂某一方面的表现，以此为切入点评价课堂教学的水平。它们的长处是抓住一点，得以深入，因此带来的问题，也就是过于重视了课堂的某一侧面，而很有可能忽视了课堂教学的整体功能。我国在这方面很少有研究，有待今后填补。下面要介绍的评价方案，关注了课堂教学的多个维度，从多个角度来审视课堂教学的合理性，不过同时带来的问题是，这样的评价很难深入。

1.2.1 我国数学课堂教学的评价方案

（1）全面综合性评价方案

青浦县数学教改实验7因素评价课堂教学是在我国有影响深远的综合性评价方之一。上世纪80年代，青浦县数学教改实验小组，在对中学课堂教学现状进行广泛调查分析基础上，使用严格的数学方法（模糊聚类的方法）发展了个7因素评价课堂教学的方案（详见表1.7）（青浦县数学教改实验小组，1991）。其中7个因素是指：目的要求，内容组织，概念教学，能力培养，师生配合，教法特点，教学效果。这7个因素在课堂教学评价中的权重又是不同的，分别是：0.1705, 0.1432, 0.1670, 0.1174, 0.1394, 0.1127, 0.1498。每个因素分成5个等级：很好，较好，一般，较差，很差。每个等级又按照符合的程度进行量化（0到10）。最后通过数据运算（具体过程详见青浦县数学教改实验小组，1991，第142-153页）可以获得课堂教学的综合判断值和单因素判断矩阵。2007年，青浦实验研究所又进行了一项类似的研究，进一步发展了这一评价方案， 诸多方面得到了调整，充实和发展（表1.7）。比如，7个因素的评价方案的权重相应调整为：0.1721，0.1552，0.1261，0.1542，0.1308，0.1156，0.1460（贺真真，2007）。

表1.7： 7因素课堂教学评价指标

评课因素	因素的描述 (1982年)	因素的描述（2007年）
目的要求	根据教学大纲和教材内容，制定明确具体的教学目的； 按照班级实际和学生情况，使提出的教学要求恰如其份； 整节课的每一环节始终围绕着教学目的和要求展开，不脱离教学主题。	关注技能、认知和情感，体现学生发展的目标； 把握学科本质、明确具体要求； 教学要求适合学生最近发展区； 尊重个性差异、面向全体学生。
内容组织	突出重点，主次结合； 抓住关键，突破难点； 讲究教学层次，注重内容布局，连接顺序和张弛节奏的设计。	内容选择与目的要求相适应； 重点突出、容量适度，且具有弹性； 合理的知识建构方式与难点，关键的处理； 教学训练的有层次安排。
概念教学	从学生原有知识出发，通过观察、类比、归纳、推理等方法形成正确概念； 运用适当的变式训练，使学生深刻而灵活地掌握和应用概念； 适当归纳，把新概念纳入学生的知识体系之中，并重视复习巩固。	突出基本概念，表述清晰，学生理解程度高； 基本技能定位正确，学生能有效掌握； 避免不必要的重复讲述和大运动量训练； 根据学生反映随时调节教学的节奏和步调；
能力培养	重视数学问题思考过程和方法的教学，让学生逐步掌握原理，举一反三； 教师通过教学引导和示范，积极影响和促进学生在智力、能力和学习品质等某些侧面的发展。	注重学生学习方法和学习习惯的培养； 利用课堂生成资源，鼓励学生质疑问难，独立思考； 学习情境中让学生尝试、探索、创造性解决问题； 针对学生行为变化灵活应变。
师生配合	注意情感活动和认知活动的结合，创设问题情境，激发学生的认识兴趣； 以全班学生的可接受程度为依据，并注意从教育与发展的角度，让各类学生都能积极思维； 教师指导恰当，学生热情配合，课堂气氛活跃和谐。	教态亲切自然，接纳学生的感情； 学生思维活跃，能充分表达自己的观点和意见； 引导以学生为主体的活动，包括学生自我评价和调控； 师生、生生双向互动与沟通得当。
教法特点	把教和学，讲述和探究合理地结合起来； 及时了解教学效果，随时调节教学； 其他经验和理论的正确运用。	注重基础知识和基本技能的启发式教学； 创造学习情境，引导体验探究； 倡导小组合作式的学习； 合适与必然的模型，演示或多媒体的运用。
教学效果	学生在获得和应用知识方面显示良好的反应； 提问与书面检查正确率高； 听课教师对这节课的直觉印象好。	教学目的及其预定的目标要求达成度高； 学生在各种教学活动中整体投入，潜能得到发挥； 课堂时间充分利用，活动成本相对较低； 有利于提高后续学习的水准。

    相关研究详细描述了青浦课堂教学评价方案的具体形成和发展过程（青浦县数学教改实验小组，1991，贺真真，2007）。研究人员，凭借广大一线教师的经验，利用严格的统计方法获得最后的评价方案，具体的做法是：（1）教师提出评价的因素；（2）讨论等价分划与归并；（3）形成7因素评价方案；（4）试评与修正；（5）运用模糊聚类的方法确定权重。

（2）特定取向的综合性评价方案

为了体现新课程理念在课堂的实施情况，一些新的综合评价纷纷提出。他们试图强调课程理念的某些方面。

曾美露（2003）提供了一个兼顾教师教学和学生学习的“双主线”评价表。她将教师的教学行为权重0.4，一共分5个维度：组织能力、注意中心、教学态度、教学机智以及教学境界，其中又列出了若干评价指标和具体的权重。学生的学习活动权重0.6，也是5个维度：参与状态、情绪状态、交往状态、思维状态、生成状态，其中也包含若干评价指标和权重。在评价方案中，针对每个指标采取4个等级（优、良、中、差）的判定。

曾美露提供的评价方案对每个指标赋予了不同的权重，从总体上来看，评价方案突出了关注学生的学习活动，体现了课程改革的方向。不过我们不清楚评价方案中各指标的权重是如何确定的，可能是凭借教师的经验。

曹一鸣（2007）介绍了天津某区中学数学“主体教育”课堂教学评价[l1] 。“主体教育”的课堂教学强调：（1）促进人的发展为根本宗旨的教学目标。不仅有学科教学的基础目标，，而且有主体性发展目标，从学科实际和学生出发，促进学生自主性、主动性和创造性的发展。（2）科学合理的教学内容。具体体现在教师对教材的正确理解和创造性的应用，教学内容应有基础性、发展性、实践性和综合性。（3）学生主动学习的教学策略与方法。体现学生主动参与学习的有效度，学生合作学习的实效性，学生自主学习及差异发展等教学策略。（4）教师的教学能力，即教师对课堂教学监控、调节能力，较强的实践操作能力以及良好的语言表达能力（武思敏，2000）。

曹一鸣（2007）介绍的天津“主体教育”课堂教学评价方案，包括6个评价项目，分别是：教学目标、教学内容、教学组织、学生活动、教师素养、教学创新，权重依次是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1（曹一鸣，2007）。每个评价项目分别有4个评价等级：优、良、中、差。4个等级的得分是这样规定的：优者对应得分占评价项目总分的90%以上，良者得分在90%-70%之间，中者得分在70%-50%之间，差者得分在50%之下。例如表1.8列出的是中学数学“主体教育”课堂教学评价表的“教学内容”项目的评价要点和评价等级。

表1.8：中学数学“主体教育”课堂教学评价表（部分）

评价项目	评价要点	评价等级				得分
教学内容 （20分）		优	良	中	差
	教学内容科学准确、逻辑性、系统性强	20-18	17-14	13-10	9-0
	容量适当、环节清楚；重点突出，难点突破有方
	注重培养学生的数学素养、实践能力和创新精神
	注意联系生活和学生经验、开发数学课程资源

 

        以上我们例举了国内一些综合评价数学课堂教学的方案，还有一些类似的例子（王汉岭，2005，赵玉城，2005）不再一一赘述。上述综合性评价方案的一个共同特点是评价方案开发者试图对复杂的课堂教学现象进行量化的描述，以评价课堂教学体现某种教学理念指导下的数学教学的达成度。。虽然，这些评价方案都提供了易于操作的分类及权数；指标及评分等级，但大多数是建立在主观判断基础上，而缺乏实证研究的基础（除青浦县数学教改实验7因素评价方案之外），此外，对这些评价方案信度和效度的有待进一步的研究。

1.2.2 国外数学课堂教学的评价方案

    （1）ITC-COP评价方案

美国“零点研究中心”开发的课堂教学（数学与科）评价方案（Weiss et al.，2003），简称ITC-COP (Inside the Classroom Observation and Analytic Protocol)。该方案一共分三个部分。第一部分包括：（1）教师、科目、学生的基本信息；（2）教学的目的；（3）教学等级指标；（4）教学时间教学活动的分配；（5）课堂综合性评价；（6）课堂描述和说明。第二部分包括：（1）影响教学的因素，其中考虑了可能影响课堂教学的外部因素，如教育政策、学校环境、教学资料、学生与教师特征等许多因素；（2）说明这些影响因素之间的相互关系，并指出决定课堂教学和设计的重要因素。第三部分是对前两个部分评价的综合，要求评价者简要概括课堂教学状况，综合性地评价课堂教学质量的水平，以及提供额外的信息和推荐意见。特别要指出的是，在上述方案的第一部分中，教学等级指标又被划分为4类因素：设计、实施、内容和文化。每一类又规定了若干具体指标，同时要求评价者以Likert型5点评判等级（表1.9）。

表1.9：ITC-COP教学等级指标

教学等级指标	描述
设计	教学设计的任务、作用以及互动和探究数学相一致。
	教学设计能反映教师的精心准备。
	教学策略和教学活动能体现教师关注学生已有的知识经验和学习方式。
	教学策略和教学活动能体现教学的平等和因材施教。
	教学的设计鼓励学生参与。
	提供充分的时间和机会，促进学生的理解。
	提供充分的时间和机会，用于概括总结。
实施	教学的策略与探究数学相一致。
	教师显示出很高的自信心。
	教师的课堂管理水平和策略有利于提高教学的质量。
	教学的节奏和发展学生的能力，以及实现教学目标相一致。
	教师能根据学生的理解水平调整教学。
	教师的提问方式有利于发展学生的概念理解和问题解决的能力。
内容	数学内容具有重要的意义。
	数学内容和发展学生的能力相一致。
	教师提供的数学内容是准确的。
	学生积极参与数学的思考。
	显示了教师对数学概念的理解。
	数学知识的形成被看作是一个动态的过程，包含了猜想、证明、检验等过程。
	体现数学的抽象性。
	在数学知识之间形成联系，并把数学内容和其它学科以及现实世界相联系。
	理解数学内容和发展学生的能力以及教学目标相一致。
文化	鼓励积极参与
	营造尊重学生思想、智慧的气氛。
	体现学生之间相互合作的关系。
	体现师生相互协作的关系。
	鼓励学生猜想、质疑，创造性地思考。
	思维严谨、富于批判，形成具有挑战性的观念。

ITC-COP评价方案综合全面地考核课堂教学的方方面面，包括课堂教学的实施、课前的教学计划、教学资料以及影响课堂教学的因素。因此完成这份，需要花费评价者较多的时间和精力，同时要求评价者具有较高的专业素养。ITC-COP评价方案是美国常用的评价方案之一，由此也形成了一些简化的评价方案，同时也间接地研究了ITC-COP评价方案的信度（Henry, Murray, & Phillips, 2007)。

（2）RTOP评价方案

RTOP（Reformed Teaching Observation Protocol）是指向课堂教学改革状况的综合评价方案，也是美国常用的评价方案之一（Henry, Murray, & Phillips, 2007)。RTOP评价方案主要有三个部分：基本信息（教师、学校、观察的时间）、课堂信息（课堂概况、课堂环境、课堂规模、性别比例等）和评价因素。评价数据是评价方案的主要内容，一共分5个部分：教学设计与实施、命题性知识（propositional knowledge）、程序性知识（procedural knowledge）、交流互动、师生关系。每个部分又包含5个具体指标, 每个指标按照Likert型5点判定等级（表1.10）。已有的研究表明，RTOP评价方案具有良好的信度和结构效度（Sawada, et al., 2000）。

表1.10：RTOP方案的评价因素以及具体指标

评价因素		指标
教学设计与实施		教学的策略和活动是以学生已有的知识经验为基础的。
		教学的目的是让每一个学生成为课堂学习共同体的成员。
		学生在课堂中对知识的探究发生在教师正式讲解之前。
		课堂鼓励学生寻找多元的探究模式和解决问题的方法。
		课堂的焦点和方向经常由学生的思维来决定。
内容	命题性知识	课堂包括基本的概念。
		课堂促进学生概念性的理解。
		教师精通所教的学科知识。
		强调知识的抽象性
		探索与其它学科或现实世界的联系
	程序性知识	学生使用不同的表征方式。
		学生经历猜想-验证的思维过程。
		学生参与高水平的思维活动或批判性的评价。
		学生反思他们的学习过程。
		强调思维的严谨、建设性的批判以及富有挑战性的思考。
课堂文化	交流互动	学生使用各种方式交流他们的思想。
		教师的问题引发了不同的思考。
		学生的交流和讨论是课堂的主要活动。
		学生的质疑和评论决定了课堂交流的焦点和方向。
		创造尊重学生发言的课堂气氛。
	师生关系	鼓励学生的参与。
		鼓励学生形成猜想、产生不同的解题方法以及发表不同的见解。
		教师对学生具有耐心。
		教师作为资源的承载者，支持和促进学生的探究。
		教师作为课堂的聆听者。

（3）“任务-环境-讨论”3因素评价方案

Artzt & Armour-Thomas (1999, 2002) 描述了一种课堂观察和评价的模式。它包括教学任务(表征，动机，系列或难度水平)，学习环境（社会或学术气氛，教学方式及课堂管理），讨论（师生 互动，生生互动，提问 ）（见表1.10）。这个评价方案主要用于职前教师的培养，帮助职前教师通过观察他人的课堂，反思自己的课堂教学并进行自我评价，促进职前教师提高课堂教学水平。

表1.10：课堂观察的维度与指标（徐斌艳《数学教育展望》，介绍过些模式，可参照相关翻译[l2] ）

维度	指标的描述
任务
表征的模式	恰当地使用符号、图表、学具、计算机、计算器等，促进学生对内容的正确理解。采用多种表征，促使学生将已有的知识和技能迁移到新的数学情境中。
激发动机的策略	提供能够激发学生好奇心的任务，鼓舞他们展开积极的数学猜想。兼顾到学生兴趣和经验的差异。同时，应当把学生的学习动机与课堂教学目标统一起来。
顺序（Sequencing）/难度	按照由易到难的顺序设计任务，由此加深学生对具体内容的理解。同时也能促进他们把已有的知识和将要学习的知识联结起来。设计的任务应当在学生已经掌握的知识基础之上，促进他们发展新的知识和技能。
学习环境
社会/学习氛围	尊重学生的观点和思维方式，建立和保持积极和谐的课堂环境。严格执行课堂守则和规范，保证正常的课堂教学。
教学模式/步奏	采用鼓励和支持学生积极参与的教学策略，促使他们达到预定的学习目标。留给学生必要的时间，让他们发表自己的观点，探究数学问题。
常规管理	有效的组织和管理课堂，保证学生有充足的时间用于交流与探索问题问题。
讨论
师－生互动	以亲和平等的态度与学生交流，鼓励每个学生都主动参与。要求学生给予完整的解释和说明，或者提供口头或书面的演示。仔细听取学生的想法，并作出决定：该何时提供信息和解释，何时示范和引导，何时让学生面对困难。
生－生互动	鼓励学生认真听取他人的回答，及时反馈交流，提出质疑。这有益于他们形成正确的评价，扬弃或修正自己的观点，勇于承担获得数学猜想和数学结论的责任。
提问	提出不同水平、不同类型的问题，启发学生思考，并参与到学生的活动中去，不断挑战他们的思维。

1.6小结

本节介绍的课堂教学评价方案，一共可以分成两类。前者着重关注课堂的某一方面进行评价和分析。后者从多个维度和视角对课堂进行了比较全面的评价。这两类评价方案的优劣之处，应当是显而易见的，前者可能会忽略了课堂中另外一些重要的表现，而这些表现也可能是关键性的。其长处则是，评价课堂的某一方面，往往比较深入，可以以点带面，发现问题的本质。后者从多个视角对课堂进行分析，可以克服前者带来的问题，然后不足也是一目了然的，这样的评价很难深入，很容易停留在问题的表面。

另一方面，从综合评价的内容来看，各种评价方案虽然侧重点有所不同，但是他们共享许多重要方面。首先是强调知识的产生必须建立在学生已有知识及经验基础之上。其次是除了强调对知识的理解和发展问题解决能力，更强调数学猜想及证明，以及高层次思维能力（批判性和创造性思维）的培养。再次是强调形成一个和谐的、挑战性和互动的课堂学习环境。如果比较中西方综合评价方案的内容，我们还可以发现： 中国的评价强调教师的主导作用，如设定例合理的教学目标，有效处理教学重点和难点，教学目标的达成度。而西方的评价更关注问题及知误多元表征，学生的参与及动态的课堂教学环境。

下面我们将提供具体案例说明相关评价方案的实施过程及特点。

§2课堂教学评价案例

2.1 数学教学任务的评价案例

在本节将介绍两个课堂评价的案例。第一个案例是利用上一节介绍的数学教学任务的评价方案，分析代数课堂（冯寅, 2002）数学任务水平的保持和降低。这个课堂评价案例选摘自黄兴丰、程龙海和李士锜（2005）。第二个案例是利用上一节中介绍的数学课堂认知水平的评价方案，分析课堂“画角的和、差、倍”的教学，选摘自黄兴丰和范良火（2009）。（为什么要做这两种评价，他们对理解学生的学习及改进课堂教学的作用或启示是什么？ 如果有相关目的及意思的介绍，也许更为有意思[l3] ）

2.1.1数学任务高认知水平的保持

在明确地提出数学任务后（设等差数列的首项为，公差为，记前项之和为，则，如何求出它的表达式？），教师让学生回忆利用归纳—猜想求等差数列前项通项公式的方法。然后引导学生猜想等差数列前项的求和公式。S3说：“我是这样计算的，，，，，但是我还没有猜出来。”S4给出了的表达形式。教师问：“你是怎么猜出来的？”他解释道：“我在计算的过程中保留了公差前面的系数，，，，，，所以猜想。”“很好！在计算的过程中，我们应该保留结构的特点，但上述归纳出的结论能不能算等差数列的前项的求和公式呢？”“不算，式子中的还没求出来呢？”S5提出了质疑。S4补充道：“我知道。”“根据是什么？”教师追着问。“利用等差数列的求和公式。”S4说。“可以吗？”教师反问。S6反驳道：“不行，本身我们在求等差数列前项的和公式，在证明时，怎么能用它呢？”教师肯定了S6的说法。S7说：“只要求出就可以了。”“怎么求呢？”教师又问。在学生计算和讨论后，S8给出了计算方法：“我通过计算发现，一共有对，所以。”学生对S8的方法产生了争论，S9指出了解法中存在的问题：“在所求的式子中，不一定有对，它和的奇偶性有关，上面只做了是偶数的情况。”教师引导学生继续讨论：“ 那么大家再算一下，当是奇数时，应该是多少？”S9给出了结果：“还可以类似的做，但中间一个项不能配成对，所以是。”“我们从上面两位同学的解答中看到，结果和的奇偶性无关，有没有不要分类讨论的，更加简单的方法呢？”S10采用了两个 “逆序相加”的方法求出了结果。教师最后让S10讲述了他思考的过程。

在上述教学过程中，教师始终围绕数学任务展开，逐步推动教学的纵向发展，保持了数学任务“做数学”的高认知水平：

（1）诱导性的追问强调了学生对数学意义的理解。

教师通过数10次的追问，要求学生完成具有挑战性的数学任务。这些追问强调了学生对数学意义的解释，促使了学生思维的不断调整，对学生成功解决问题提供了指导。

（2）学生示范了高水平的解答。

在探究的过程中，先后有4个学生提供了促使课堂发展的高水平解答。S4提供了求和公式的猜想，并把课堂转向求，把一般问题特殊化。S8 提供了项数是偶数的解法，在此基础上，S9完善了解决问题的方法。S10采用逆序相加的办法简化了算法。

2.1.2数学任务高认知水平的降低

在探究了等差数列的求和公式之后，S11指出了一个新的猜想：“在等差数列中有。”“为什么？”教师问。S12说：“可以利用通项公式验证。”教师接着给出了一个更加一般的结论：当自然数满足时，有。教师说：“这个性质能否用到等差数列的求和中去呢？”S13利用逆序相加以及上述性质推导出。

在学生猜想存在之后，教师没有要求学生对此猜想进行详细的证明，而且，在没有解释和证明的情况下又给出了一个更加一般的结论。在学生尚未理解数学意义的情况下，要求学生利用这一性质推导等差数列的另外一种表达形式。在这个过程中，教师忽视了学生对数学过程的理解，转向了对答案的获得，学生只是程序性地使用教师承认的性质，教师把“做数学”的认知水平降低为“无联系的程序性”水平。

2.2 数学课堂认知水平的评价案例

2.2.1 课堂的引入

R女士拿着两个三角尺（有60度的直角三角尺，45度的直角三角尺），提出了这样一个问题“用一把三角尺，可以画哪些特殊的角呢？”学生一起回答了这个问题：“90度，60度，30度，45度”。如果在此“吹毛求疵”的话，R女士的问题其实是有“问题”的。事实上，一把三角尺何止只画三个“特殊角”？这样看来，学生的回答，完全是建立在观察和经验的基础上，仅是对事实简单的描述（RL1，回忆）。R女士提问的真实意图是为了引出下面的问题。

教师提出这样的问题：“用一幅三角尺（两个），你能画（拼）出多少个，大于0度，小于180度的角？”同时，R女士用电脑投影演示问题。教师让同桌学生合作，探索讨论。R女士事前准备了足够的三角形硬纸板，并用红、黄不同的颜色区分两种三角形，教师示意学生用三角形硬纸板把结果拼在黑板上，在全班学生的努力下，拼出了所有可能的角。R女士提出的问题，对学生而言是具有挑战性的，学生需要把两个三角板上的角联系起来，进行组合。同时每选定两个角进行拼图时，还要考虑两种情况：重叠拼角，或是平铺拼合（蕴含两种运算角的“加、减”）。也就是说，学生需要联系不同的表示、运算和条件，解决问题。学生通过操作探索答案，同时在活动中积累学习两角和、差的经验。

R女士花了很多的时间核对学生的拼图，学生只是跟着教师简单地反馈，重复黑板上拼图中三角板角的度数以及拼得的角的度数（RL1，回忆）。R女士好像不是十分关注问题的答案，即可以拼出多少不同的角。甚至在核对结束后也没有明确地告诉学生最后的结果。R女士关注的焦点在拼图的过程，她只是不厌其烦地和学生做问答式的核对，在核对每个拼图时，总联系了三个量：两个三角板拼出的角的度数，拼图中每块三角板中使用到的角的度数。R女士通过图形，在让学生做“角度的加减法运算”，通过反复的练习，为理解和概括两角的和、差概念作铺垫和准备。

R女士这时才告诉学生这节课要学习的内容，并用电脑演示线段和、差的图形，并让学生齐声背诵线段和、差的概念。R女士通过复习线段和、差的概念，也是为概括两角的和、差概念作铺垫和准备。

2.2.2 画法的探究

R女士在复习了线段和、差的基础上，演示图形（图1），并提出问题：“图中有何等量关系？”S1举手回答：“∠AOC+∠COB=∠AOB, ∠AOB-∠AOC=∠COB, ∠AOB-∠COB=∠AOC。”接着R女士问：“哪个同学能根据线段和、差的定义，来总结角的和、差的定义？”S2很顺利地概括了角的和、差定义：“两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，其大小等于两个角度数的和（或差）。” S1、S2的回答完全是在“角度的加减法运算”，以及线段和、差概念的基础上，经过类比得到的。这表明，学生在旧的知识基础上，去理解和概括新的概念（CO3，建构）。

图1

R女士接下来开始引导学生画两角的和、差。R女士说：“刚才我们拼图中有一个105度的角，用三角尺怎么画一个105度的角呢？”学生齐答：“45度加上60度的角。”“那么怎么摆呢？”教师一边拿着三角尺演示，一边问，“角的顶点？”全班齐答：“重合”。R女士接着问：“角的一边？”全班齐答：“重合”。

看来，学生的回答完全是“填空式”的，看着教师的演示，描述观察到的现象（RL1，回忆）。教师企图通过这样的教学，让学生掌握画图的要领。

教师让S3单独讲述画105度角的过程。学生一边说，R女士一边按照S3的方法在黑板上画图。在此过程中，教师只是画图演示，或者适当重复S3的画图步骤。在此过程中，S3在重复刚才学到的知识（RL1，回忆）。R女士也只是在检查学生掌握的情况，同时更详细得向全班展示画两角和的过程。

2.2.3 技能的发展

在学习了用60度角和45度角画105角的基础上，R女士布置了一个例题（图2），让学生自己完成画图的过程。画任意角的两角和，

图2

R女士收集了3个学生的画图方法，在投影下展示，同时分别请学生叙述画图的过程。

S4是这样画图的：（1）用量角器测出∠α＝30度，∠β＝20度，（2）计算出两角的和为50度，（3）画一个50度的角。

S4的画图方法是建立在测量和计算的基础上的，算出∠α＋∠β的度数，然后画一个等于该度数的角。把“画两角和”的问题转化为“画一个已知角”的问题，在新的情境中应用掌握的程序（BW1，发展），解决了一个略微变化的问题（BW2，发展）。

S5的画法是：（1）用量角器测出∠α＝30度，∠β＝20度，（2）画一个角等于30度，（3）以30度角的顶点为顶点，画一个20度的角，角的始边与30度的终边重合。S5先量出角α、β的度数，把“画两个任意角的和”转化为已经掌握的“画两个特殊角的和”。S5在新的情境中应用掌握的程序（BW1，发展），解决了一个略微变化的问题（BW2，发展）。

S6的方法是：（1）用量角器测出∠β＝20度，（2）以角α的顶点为顶点，终边为始边画一个角等于20度。S6的画法可以看成是S5变通的做法，以原来的角α为基础画角，其实质是和S5一样的，在新的情境中应用掌握的程序（BW1，发展），解决了一个略微变化的问题（BW2，发展）。

接着S7自告奋勇，在黑板前展示了自己的尺规作图法，在画图的过程中使用了尺规作图（不用量角器）的办法，把画两个角的和与“尺规作图”自发的联系了起来，形成了“尺规作两角和”的方法（CO3，建构）。

R女士总结概括了所有学生的解法，并且演示了自己准备好的画图方法（S5的画法）。教师的概括和演示，目的是巩固刚学的画两角和的方法，对学生而言是重复了刚才的过程。

R女士接下来提出画两角差的问题：“老师在这里改一下，画∠α－∠β，你们会吗？”于是学生又开始自己动手画图，这个问题是前一问题的“变式”，需要学生解决一个稍作变化的问题（BW2，发展）。

三个学生回头汇报了各自的做法。S8用尺规作图画图：在角α的内部画一个角β，角α、β的顶点重合，角α、β的始边也重合（BW2，发展）。S9是用量角器画的，量出∠α＝30度，∠β＝20度，画一个角等于30度，然后再在这个角的内部画20度的角，两个角的顶点重合，始边也重合（BW2，发展）。S10用尺规作图，用尺规作角α，在角α内部用尺规作角β，角α、β的顶点重合，角α、β的始边也重合（BW2，发展）。学生使用的方法概括起来就是：（1）画角α（用原来的角、用量角器画、用尺规画），（2）在角α内部画角β（用量角器画、用尺规画），两个角的顶点重合，始边重合。

R女士演示了自己的另一画法：先画角α，在角α内部画角β，两个角的顶点重合，β的始边和角α的终边重合。R女士说：“其实画∠α－∠β，有两种办法，一种是角β的始边和角α的始边重合，另一种是角β的始边和角α的终边重合。”学生通过教师的讲解示范，理解画两角差的不同方法。

R女士提出了最后一个数学问题（图3），需要学生把代数和几何的知识联系起来，用含字母的代数式表示几何量。S11一边回答例题2中的（1），R一边演示过程（BW6，发展）。

图3

接下来的（2）R女士让全班学生一起回答。在完成问题（1）的基础上，学生及时使用（1）中的结论（∠AOC=m+n，∠BOD＝m+n），得出了正确的结论（RG2，识别）。

2.2.4 课堂的总结

最后在课堂结束前，R女士采用师生互动的形式请学生谈谈学习了本节课的体会，学生激情高涨，畅所欲言。最后，教师总结了课堂学习的内容，并布置了作业。

2.3 小结

在本节，我们利用前面一节介绍的两个课堂评价方案，分别对两节数学课进行了评价。其目的在于通过案例的分析，促进读者对第一节课堂评价方案的理解。在实施课堂教学评价同时，还应当和教师和学生进行充分的交流，这样更有利于评价过程实施的合理性，以及保证评价结果的准确性。这一点，在上述两个案例中尚未体现，应该是一个不足。

§3 本章小结

本章讨论了数学课堂评价的目的及主要类别。第一种是局内人（教师或教研究人员）的自评，主要用来了解学生的学习特点及进展，为合理的教学决策提供科学的依据；另一种是局外人（教育主管）的总结性评价，主要用来评价当事人（教师）的教学水平，并为教师专业发展提供依据。不同的课堂教学评价方案用于不用的目的。一种是聚集数学课堂教学中某些重要方面的专项评价，另一种关注课堂教学全貌的综合性评价。专项评价方案主要介绍了关注数学任务的建立和实施全过程的数学任务评价方案；分析数学知识建构过程（识别、发展和建构链）的认知发展评价；以及数学探究和交流水平的课堂互动水平评价。这类评价通过深度分析和评价课堂教学中特定教学行为，为改进课堂教学的整体质量提供易于操作、以点带面的决策依据。综合性评价方案主要介绍了若干在中国或美国较有影响的评价方案。比较中美综合评价，虽然侧重点有所不同，但是他们共享一些重要方面。首先是强调知识必须建立在学生已有知识及经验基础之上，由学生主动建构。其次是既强调对知识的理解和问题解决能力的培养，又强调数学猜想及证明，以及高层次思维能力（批判性和创造性思维）的培养。再次是强调形成一个和谐的、挑战性和互动的课堂学习环境。然而，中国的评价方案更强调教师的主导作用，如设定合理的教学目标，有效处理教学重点和难点，关注教学目标的达成度。而西方的评价更关注问题及知误多元表征，学生的学习兴趣和参与，以及动态、民主的课堂教学环境。最后，本章提供两个案例说明如何从“数学任务”及“认知发展”两种视角来分析和评价数学课堂教学特点。

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